GPT-5.2 и ИИ Аристотель решили 50-летнюю математическую задачу Эрдёша

6 января 2026 года комбинация GPT-5.2 Pro и математического искусственного интеллекта Аристотеля от стартапа Harmonic решила проблему Эрдеша № 728, открытую проблему факториального делимости, поставленную в 1975 году Полом Эрдешем, Рональдом Грэмом, Имре Руза и Эрнстом Штраусом. Доказательство было формализовано в помощнике по доказательству Lean и проверено машиной. Задача была признана решенной Теренсом Тао, одним из самых уважаемых математиков современности. Это первый случай, когда LLM создала действительно новое доказательство открытой математической проблемы Эрдеша, а не заново изобрела существующую в литературе.

Задача №728 спрашивает: существует ли бесконечно много целых чисел a, b, n с определенными ограничениями, таких что a!b! делит n!(a+b−n)! и, таким образом, a+b > n + C log(n)? Формулировка оказалась спорной — команда DeepMind AlphaProof уже нашла тривиальные решения, не соответствующие духу задачи. Авторы нового доказательства — студент-математик AcerFur (KStarGamer_) и пользователь Reddit ThunderBeanage — показали, что для любых констант 0 < C₁ < C₂ существует бесконечно много решений с b = n/2, a = n/2 + O(log n), что соответствует первоначальному замыслу авторов задачи.

Процесс был организован следующим образом: сначала GPT-5.2 Thinking исследует проблему и предлагает подход к доказательству, затем GPT-5.2 Pro исправляет мелкие ошибки и переводит аргумент в LaTeX, затем Аристотель формализует доказательство в Lean. Когда первая версия дала лишь частичные результаты, команда вернулась к GPT-5.2 с указанными ограничениями — и модель удалась. Весь процесс координируют два человека, а математическую работу выполняет искусственный интеллект.

Осенью 2025 года вокруг ИИ и проблем Эрдогана было много шума: в октябре OpenAI объявила, что GPT-5 решила десять задач, но после проверки выяснилось, что ИИ просто находил человеческие решения открытых проблем, которые были потеряны в литературе. Кстати, способность ИИ каталогизировать потерянные решения сама по себе важна для науки. Но задание №728 было первым случаем, когда тщательный обзор литературы не смог выявить каких-либо предшественников.

Авторы и рецензенты прямо заявляют следующие предостережения: решение, вероятно, было вдохновлено работой Карла Померанса 2015 года, которая могла присутствовать в данных обучения GPT-5.2. Сам Тао отмечает, что доказать отсутствие влияния на основе данных обучения невозможно. Более того, задача №728 попадает в категорию «легко висящих фруктов» — менее изученных задач, чем подборка Эрдоганом задач, которые не считаются трудными для решения, но просто ускользнули от внимания серьезных математиков. Однако Tfbloom, автор erdosproblems.com, пишет: «Впервые ИИ создал доказательство, с которым ко мне мог прийти аспирант, и я бы сказал, что его стоит опубликовать.«

На вики-странице Тао в настоящее время перечислено несколько десятков примеров вклада ИИ в задачи Эрдогана разной важности: от решений со значительным вкладом ИИ до неудачных попыток. Аристотель компании Harmonic (стартап с оценкой в ​​$1,45 млрд) уже формализовал десятки доказательств и продемонстрировал уровень золотой медали на Международной математической олимпиаде в 2025 году. Математики ожидают, что поток решений увеличится со следующим поколением моделей – GPT-5.5 или Gemini 3.5.